Question

設偶函數y=f（x），對任意實數x∈R都有f（x）=f（x+4），當x∈[0，4]時，函數f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

（a∈R，b∈R），且當x∈[0，1]時，f（x）＜0恒成立，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由已知可得f（0）=f（4），解得a，再利用二次函數的單調性與當x∈[0，1]時，f（x）＜0恒成立，即可得出．

解答： 解：∵對任意實數x∈R都有f（x）=f（x+4），當x∈[0，4]時，函數f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

．
∴f（0）=f（4），解得a=-

1

4

．
代入有f（x）=-

1

4

x2+x+b2-b-

11

4

．
∵當x∈[0，1]時，f（x）＜0恒成立，
∴f（1）＜0，化為

3

4

+b2-b-

11

4

＜0，即b²-b-2＜0，解得-1＜b＜2．
故答案為：（-1，2）．

點評：本題考查了二次函數的單調性、函數的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．