Question

解下列不等式
（1）x²-2x-3＜0
（2）

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0．

Answer 1

分析：（1）求出方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根，即可求得不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為

(x2+2x-3)(-x2+x+6)≤0 -x2+x+6≠0

，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，分別求解后取交集，即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）∵x²-2x-3=0的解為x₁=3或x₂=-1，
∴不等式x²-2x-3＜0變形為（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
故不等式x²-2x-3＜0的解集為{x|-1＜x＜3}；
（2）不等式

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為

(x2+2x-3)(-x2+x+6)≤0 -x2+x+6≠0

，
化簡(jiǎn)整理可得，

-(x-1)(x+3)(x-3)(x+2)≤0 x≠-2且x≠3

，即

x≤-3或-2≤x≤1或x≥3 x≠-2且x≠3

，
解得x≤-3或-2＜x≤1或x＞3，
故不等式

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0的解集為{x|x≤-3，或-2＜x≤1，或x＞3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，高次不等式的解法．要求解一元二次不等式時(shí)，要注意與一元二次方程的聯(lián)系，以及與二次函數(shù)之間的關(guān)系．求解不步驟是：判斷最高次系數(shù)的正負(fù)，將負(fù)值轉(zhuǎn)化為正值，確定一元二次方程的根的情況，利用二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集．對(duì)于分式不等式，一般是“移項(xiàng)，通分”，將分式不等式轉(zhuǎn)化為各個(gè)因式的正負(fù)問(wèn)題．高次不等式一般選用“穿根法”進(jìn)行求解，“穿根法”要注意先確定各因式的根，在數(shù)軸上按照從小到大標(biāo)出來(lái)，確定各因式的系數(shù)為正值，根據(jù)“奇穿偶不穿”的原則，即可得到不等式的解集．屬于基礎(chǔ)題．