(12分)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。
(Ⅰ)證明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N-CM-B的余弦值;
解:解法一:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,……………………2分
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,
∴AC⊥SB.……………………………………4分
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
過N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,過E作EF⊥CM于F,連結(jié)NF,
則NF⊥CM.
∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.……………6分
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=SD=
=
=
,且ED=EB.
在正△ABC中,由平幾知識(shí)可求得EF=MB=
,
在Rt△NEF中,tan∠NFE==2
,
∠NFE=
∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………………………8分
(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==
,
∴S△CMN=CM·NF=
,S△CMB=
BM·CM=2
.……………………10分
設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN·h=
S△CMB·NE,
∴h==
.即點(diǎn)B到平面CMN的距離為
.………12分
解法二:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、OB.∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.………………………………2分
則A(2,0,0),B(0,2,0),
C(-2,0,0),S(0,0,2),
M(1,,0),N(0,
,
).
∴=(-4,0,0),
=(0,2
,2
),
∵·
=(-4,0,0)·(0,2
,2
)=0,……3分
∴AC⊥SB.………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,
,0),
=(-1,0,
).設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,
·n=3x+
y=0,
·n=-x+
z=0,
則 取z=1,則x=
,y=-
,…… 6分
∴n=(,-
,1),
又=(0,0,2
)為平面ABC的一個(gè)法向量,
∴cos(n,)=
=
.………………………………………………7分
∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………………………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(-1,
,0),n=(
,-
,1)為平面CMN的一個(gè)法向量,∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d=
=
.……………………………12
【解析】略
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