(12分)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N-CM-B的余弦值;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

:解法一:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)D,連結(jié)SD、DB.

∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥BD,……………………2分

∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.……………………………………4分

(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,

∴平面SDB⊥平面ABC.

過N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,過E作EF⊥CM于F,連結(jié)NF,

則NF⊥CM.

∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.……………6分

∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.

∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED=EB.

在正△ABC中,由平幾知識(shí)可求得EF=MB=,

在Rt△NEF中,tan∠NFE==2∠NFE=

∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………………………8分

(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,

∴S△CMN=CM·NF=,S△CMB=BM·CM=2.……………………10分

設(shè)點(diǎn)B到平面CMN的距離為h,

∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN·h=S△CMB·NE,

∴h==.即點(diǎn)B到平面CMN的距離為.………12分

解法二:(Ⅰ)取AC中點(diǎn)O,連結(jié)OS、OB.∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.………………………………2分

則A(2,0,0),B(0,2,0),

C(-2,0,0),S(0,0,2),

M(1,,0),N(0,).

=(-4,0,0),=(0,2,2),

·=(-4,0,0)·(0,2,2)=0,……3分

∴AC⊥SB.………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(-1,0,).設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,

      ·n=3x+y=0,

       ·n=-x+z=0,              則 取z=1,則x=,y=-,…… 6分

∴n=(,-,1),

=(0,0,2)為平面ABC的一個(gè)法向量,

∴cos(n,)==.………………………………………………7分

∴二面角N-CM-B的余弦值為.………………………………………………8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(-1,,0),n=(,-,1)為平面CMN的一個(gè)法向量,∴點(diǎn)B到平面CMN的距離d==.……………………………12

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)證明:SA⊥BC;
(Ⅲ)求三棱錐S-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
3


(Ⅰ)求證SA⊥SC;
(Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
(其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn),將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr
=
1
2
lr
,則r=
2S
l

類比上述方法,請(qǐng)給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC
,O為BC中點(diǎn).
(1)求證:SO⊥平面ABC
(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)E,使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
?若存在,確定E點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,側(cè)面△SAB,△SBC,△SAC的面積分別為1,
3
2
,3,則此三棱錐的外接球的表面積為(  )

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