Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E，F(xiàn)分別是AA₁，DD₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C₁∥平面EFC；
（Ⅱ）求證：C₁F⊥平面EFC；
（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一點P，使得平面ADP⊥平面EFC？若存在，求出

BP

BB1

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出B₁C₁∥EF，由此能證明B₁C₁∥平面EFC．
（Ⅱ）設(shè)AB=1，則AA₁=2AB=2，D₁F=DF=1，所以C1F=CF=

2

，從而C1F2+CF2=CC12，進而得到C₁F⊥CF，由線面垂直得到C₁F⊥EF，由此能證明C₁F⊥平面EFC．
（Ⅲ）棱BB₁上存在中點P，使得平面ADP⊥平面EFC．從而得到平面ADP⊥平面EFC，時

BP

BB1

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，
E，F(xiàn)分別是AA₁，DD₁的中點，
∴B₁C₁∥A₁D₁，EF∥A₁D₁，
∴B₁C₁∥EF，
∵B₁C₁不包含于平面EFC，EF?平面EFC，
∴B₁C₁∥平面EFC．
（Ⅱ）證明：設(shè)AB=1，則AA₁=2AB=2，D₁F=DF=1，
∴C1F=CF=

2

，∴C1F2+CF2=CC12，
∴C₁F⊥CF，∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，EF∥A₁D₁，
∴EF⊥平面CDD₁C₁，
∵C₁F?平面CDD₁C₁，∴C₁F⊥EF，
∴C₁F⊥平面EFC．
（Ⅲ）解：棱BB₁上存在中點P，使得平面ADP⊥平面EFC．
證明如下：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)是DD₁中點，P是BB₁中點，
∴C₁F∥AP，∵C₁F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，
∵AP?平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，
此時

BP

BB1

=

1

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直時點的位置的確定，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．