數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．
【答案】分析：（Ⅰ）通過證明必要條件與充分條件，推出{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通過①當c=0時，②當c＞0時，推出0＜c＜1，當c時，證明xn+1＞xn．=?．當c時，說明數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．得到0＜c時，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列．
解答：當c＜0時，xn+1=-x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是單調遞減數(shù)列
充分條件
當{xn}是單調遞減數(shù)列時
x1=0＞x2=-x21+x1+c
∴c＜0
綜上{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①當c=0時，xn=x1=0，此時數(shù)列為常數(shù)列，不符合題意；
②當c＞0時，x2=c＞x1=0，x3=-c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
?
?0=x1≤xn＜，=-（xn+1-xn）（xn+1+xn-1），
當c時，⇒xn-xn+1+1＞0?xn+2-xn+1-1＜0，?xn+2-xn+1與xn+1-xn同號，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0?xn+1＞xn．
=?．
當c時，存在N使xN⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2-xN+1與xN+1-xN異號，
與數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．
所以當0＜c時，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調性的證明，充要條件的證明，考查邏輯推理能力，計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
cx2+1
（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0時，數(shù)列an滿足條件：點（n，an）在函數(shù)f(x)=
ax+b
cx2+1
的圖象上，求an的前n項和Sn；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N*（p≠q），證明：Sp+q＜
1
2
(S2p+S2q)；
（Ⅲ）若c=1時，f（x）是奇函數(shù)，f（1）=1，數(shù)列xn滿足x1=
1
2
，xn+1=f（xn），求證：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn-xn+1)2
xnxn+1
＜
5
16
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•四川）記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，現(xiàn)有下列命題：
①當a=5時，數(shù)列{xn}的前3項依次為5，3，2；
②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當n≥k時總有xn=xk；
③當n≥1時，xn＞
a
-1；
④對某個正整數(shù)k，若xk+1≥xk，則xk=[
a
]．
其中的真命題有
①③④
①③④
．（寫出所有真命題的編號）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3xx+3
，數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn+1=f（xn），n∈N*
（1）求數(shù)列{xn}的通項公式．
（2）記an=xnxn+1，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*，求證：Sn＜3．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•荊州模擬）數(shù)列{xn}滿足x1=
1
3
，且n≥2時，xn=
xn-1
2-xn-1
，若對任意n∈N*，都有|x2-x1|+|x3-x2|+…+|xn+1-xn|＜a成立，則實數(shù)a的取值范圍是
[
1
3
，+∞)
[
1
3
，+∞)
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）在（-1，1）有意義，f（
1
2
）=-1且任意的x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
），若數(shù)列{xn}滿足x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
（n∈N*），求f（xn）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案