Question

1．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$若關于x的函數y=[f（x）]²-bf（x）+1有8個不同的零點，則實數b的取值范圍為（　　）

• A． （2，8）
• B． $[2，\frac{17}{4}）$
• C． $（2，\frac{17}{4}]$
• D． （2，8]

Answer 1

分析 方程f²（x）-bf（x）+1=0有8個不同實數解，即要求對應于f（x）等于某個常數k，有2個不同的k，再根據函數對應法則，每一個常數可以找到4個x與之對應，就出現(xiàn)了8個不同實數解故先根據題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，只有滿足條件的k在開區(qū)間（0，4]時符合題意．再根據一元二次方程根的分布的理論可以得出答案．

解答 解：∵函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lg（-x）|，x＜0\\{x^3}-6x+4，x≥0\end{array}\right.$作出f（x）的簡圖，如圖所示：
由圖象可得當f（x）在（0，4]上任意取一個值時，都有四個不同的x與f（x）的值對應．
再結合題中函數y=f²（x）-bf（x）+1 有8個不同的零點，
可得關于k的方程 k² -bk+1=0有兩個不同的實數根k₁、k₂，且0＜k₁≤4，0＜k₂≤4．
∴應有$\left\{\begin{array}{l}{△=^{2}-4＞0}\\{0＜\frac{2}＜4}\\{0-b×0+1＞0}\\{16-4b+1≥0}\end{array}\right.$，解得 2＜b≤$\frac{17}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查了函數的圖象與一元二次方程根的分布的知識，采用數形結合的方法解決，使本題變得易于理解．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷，屬于中檔題．