Question

已知函數(shù)y=x+

4

x

．
（1）判斷此函數(shù)在（0，2）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）判斷此函數(shù)的奇偶性；
（3）求在區(qū)間[-2，-1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷此函數(shù)在（0，2）的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷此函數(shù)的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，求函數(shù)在區(qū)間[-2，-1]上的最值即可．

解答：解；（1）設(shè)y=f（x）=x+

4

x

．
任設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)函數(shù)在（0，2）的單調(diào)遞減．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），．
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由（1）（2）知f（x）在[-2，-1]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得最小值f（-1）=-5，
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得最大值f（-4）=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．