Question

如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=SA=SB=2．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求直線SB與平面SDA所成的角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由于側(cè)面SBC⊥底面ABCD，所以根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可以過S作BC的垂線，若設(shè)垂足為O，連接OA，則SO⊥OA，所以很容易證明Rt△SOB⊥Rt△SOA，從而會得到∠BOA=90°，從而證明BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC．
（2）要求直線SB與平面SDA所成的角，要先找到這個角，直接找不好找，這時候可以利用向量的辦法，設(shè)過B作平面SDA的垂線，垂足設(shè)為E，然后根據(jù)向量的辦法，找到E的坐標(biāo)即可．找到坐標(biāo)之后，直線SB與平面SDA所成的角就等于向量

SB

和

SE

所成角，利用向量便能求出這個角．

解答： （1）證明：作SO⊥BC，垂足是O，連接AO，SO；

∵側(cè)面SBC⊥底面ABCD，側(cè)面SBC∩底面ABCD=BC；
∴SO⊥底面ABCD；
又∵OA?底面ABCD；
∴SO⊥OA，SO⊥OB；
又 SA=SB
∴OA=OB；
又∠ABC=45°
∴OA⊥OB；
∴BC⊥OA
又∵BC⊥SO，SO∩AO=O
∴BC⊥平面SOA；
又∵SA?平面SOA
∴SA⊥BC．
（2）以O(shè)A、OB、OS為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
∵AB=2，∠ABC=45°
∴OB=

2

2

×2=

2

，OA=

2

，又SB=2，∴OS=

2

；
∴能確定以下幾點坐標(biāo)：
A(

2

，0，0)，S（0，0，

2

），B（0，

2

，0），設(shè)D（

2

，a，0），
若過B作平面ADS的垂線，設(shè)垂足為E（x₀，y₀，z₀），則：

AD

=(0，a，0)，

AS

=(-

2

，0，

2

)，

BE

=(x0，y0-

2

，z0)，

AE

=(x0-

2

，y0，z0)則：

BE

•

AS

=0，

BE

•

AD

=0，∴帶入坐標(biāo)得：a（y0-

2

）=0，-

2

x0+

2

z0=0，∴y0=

2

，x0=z0；
又E在平面ADS上，∴存在實數(shù)λ，μ使得

AE

=λ

AD

+μ

AS

，帶入坐標(biāo)得(z0-

2

，

2

，z0)=λ(0，a，0)+μ(-

2

，0，

2

)；
∴

z0- 2 =- 2 μ 2 =aλ z0= 2 μ

，解得z0=

2

2

，∴x0=

2

2

，∴E（

2

2

，

2

，

2

2

），∴

SB

=(0，

2

，-

2

)，

SE

=(

2

2

，

2

，-

2

2

)；
通過前面知：向量

SB

和

SE

所成的角就是直線SB與平面SDA所成的角，設(shè)這個角為θ，則：
cosθ=

SB • SE

| SB || SE|

═

2+1

2× 3

=

3

2

，∴θ=30°．

點評：第一問告訴我們，要證明線線垂直，可通過證明線面垂直得到．第二問的求解過程，便是利用向量方法求線面角的方法，需要掌握，并且利用向量的方法還可以求其它的夾角問題．考查的知識點為：面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，向量的數(shù)量積，平面向量基本定理，向量夾角．