Question

定義函數(shù)F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）．
（1）令函數(shù)f（x）=F[1，log2(x3-3x)]的圖象為曲線C₁求與直線4x+15y-3=0垂直的曲線C₁的切線方程；
（2）令函數(shù)g（x）=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]的圖象為曲線C₂，若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C₂在x₀（x₀∈（1，4））處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x，y∈N^*，且x＜y時(shí)，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)F（x，y）的定義可求得f（x），根據(jù)垂直關(guān)系可得切線斜率即f′（x）值，從而可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程．
（2）曲線C₂在x₀（x₀∈（1，4））處存在斜率為-8的切線，即g′（x₀）=-8有解，由已知消去b轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，x的不等式即可解得．
（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ln(1+x)

x

，利用導(dǎo)數(shù)判斷h（x）單調(diào)遞減即可．

解答：解：（1）f（x）=F[1，log2(x3-3x)]=(1+1)log2(x3-3x)=x³-3x，
由log2(x3-3x)＞0，得x³-3x＞1．又f′(x)=3x2-3=

15

4

，由f′（x）=0，得x=±

3

2

，
∵x³-3x＞1，∴x=-

3

2

．又f（-

3

2

）=

9

8

，∴切點(diǎn)為（-

3

2

，

9

8

）．
∴存在與直線4x+15y-3=0垂直的切線，其方程為y-

9

8

=

15

4

(x+

3

2

)，即15x-4y+27=0．
（2）g（x）=[1，log2(x3+ax2+bx+1)]=x³+ax²+bx+1．
由log2(x3+ax2+bx+1)＞0，得x³+ax²+bx＞0，
由g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8，
x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）=-2x³-ax²-8x＞0在（1，4）上有解，
∴2x²+ax+8＜0在（1，4）上有解，即a＜-2x-

8

x

在（1，4）上有解，∴a＜(-2x-

8

x

)max（1＜x＜4），
而-2x-

8

x

=-（2x+

8

x

）≤-2

2x• 8 x

=-8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，∴a＜-8．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-8）．
證明：（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）?

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
令h（x）=

ln(1+x)

x

，則h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，當(dāng)x≥2時(shí)，

x

1+x

＜1＜ln(1+x)，
∴h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)2≤x＜y時(shí)，h（x）＞h（y），又當(dāng)x=1且y=2時(shí)，h（1）=ln2＞

1

2

ln3=h(2)．
故當(dāng)x，y∈N^*，且x＜y時(shí)，h（x）＞h（y），即F（x，y）＞F（y，x）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力．