Question

（2007•上海模擬）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），i是虛數(shù)單位，滿足4≤z+

64

z

≤10．
（1）求證：y=0時滿足不等式的復(fù)數(shù)不存在．
（2）求出復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的軌跡．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)y=0時，z=x≠0，則4≤x+

64

x

≤10⇒

x+ 64 x ≥4 x+ 64 x ≤10

⇒

x2-4x+64 x ≥0 x2-10x+64 x ≤0

，由

x2-4x+64

x

≥0，因為x²-4x+64＞0，則x＞0．由此能夠證明滿足不等式的復(fù)數(shù)不存在．
（2）4≤x+yi+

64(x-yi)

x2+y2

≤10，由題知：z+

64

z

必為實數(shù)．所以：

y- 64y x2+y2 =0 4≤x+ 64x x2+y2 ≤10

⇒y=0（舍）或x²+y²=64，2≤x≤5．由此能求出z所對應(yīng)的軌跡．

解答：解：（1）證明：當(dāng)y=0時，z=x≠0…（2分）
則4≤x+

64

x

≤10⇒

x+ 64 x ≥4 x+ 64 x ≤10

⇒

x2-4x+64 x ≥0 x2-10x+64 x ≤0

…（4分）
由

x2-4x+64

x

≥0，因為x²-4x+64＞0，則x＞0
由

x2-10x+64

x

≤0，因為x²-10x+64＞0，則x＜0
所以不等式無解，滿足不等式的復(fù)數(shù)不存在．…（7分）
（2）解：4≤x+yi+

64(x-yi)

x2+y2

≤10，由題知：z+

64

z

必為實數(shù)…（9分）
所以：

y- 64y x2+y2 =0 4≤x+ 64x x2+y2 ≤10

⇒y=0（舍）或x²+y²=64，2≤x≤5…（12分）
所以z所對應(yīng)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以8為半徑的圓弧．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)式表示法及其向何意義，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．