Question

（2013•保定一模）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=nsin（

n+1

2

π）+1，前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），則S₂₀₁₃=（　　）

A．1232

B．2580

C．3019

D．4321

Answer 1

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式和周期，分類討論可得：隨著n的值變化，a_n=nsin（

n+1

2

π）+1的值為n+1、-n+1或1．由此化簡S₂₀₁₃的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出答案．

解答：解：當(dāng)n=4k（k∈Z）時，sin（

n+1

2

π）=sin

π

2

=1；當(dāng)n=4k+1（k∈Z）時，sin（

n+1

2

π）=sinπ=0
當(dāng)n=4k+2（k∈Z）時，sin（

n+1

2

π）=sin

3π

2

=-1；當(dāng)n=4k+3（k∈Z）時，sin（

n+1

2

π）=sin2π=0
由此可得
S₂₀₁₃=（1×sinπ+1）+（2×sin

3π

2

+1）+（3×sin2π+1）+…+（2013sin

2014

2

π+1）
=[2×（-1）+4×1+6×（-1）+8×1+…+2010×（-1）+2012×1]+2013×1
=（-2+4-6+8-10+…+2008-2010+2012）+2013=1006+2013=3019
故選：C

點(diǎn)評：本題求一個特殊數(shù)列的前2013項(xiàng)和，著重考查了正弦函數(shù)的周期、誘導(dǎo)公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和等知識，屬于中檔題．