Question

（2012•黔東南州一模）已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+m-1，當(dāng)x=-1時(shí)取得極值，且函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)是x軸上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，B點(diǎn)是曲線y=f(x)(0＜x≤

4

5

)上但不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為4，建立方程組，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，要使△OAB的面積最大，由O、A兩點(diǎn)在x軸上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，由此可求△AOB面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²+2mx+n…（1分）
由已知得

3-2m+n=0 3+2m+n=4

，∴

m=1 n=-1

．
故f（x）=x³+x²-x…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1）
∴f（x）在(0，

1

3

)上為減函數(shù)，在(

1

3

，

4

5

)上為增函數(shù)            …（7分）
要使△OAB的面積最大，由O、A兩點(diǎn)在x軸上且|OA|=2知，只需在(0，

4

5

]上，|f（x_B）|的值最大，
由f（x）在區(qū)間(0，

4

5

]上的單調(diào)性知，只有當(dāng)x=

1

3

或x=

4

5

時(shí)，|f（x_B）|的值最大…（9分）
而|f(

1

3

)|=

5

27

＜|f(

4

5

)|=

44

125

…（10分）
故當(dāng)x=

4

5

時(shí)，△OAB的面積最大，且最大值為

1

2

×2×

44

125

=

44

125

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)．