Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當y=f（x）在x=1出取得極值時，若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，分類討論，即可得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）由y=f（x）在x=1處取得極值，可知f'（1）=0，從而可得函數(shù)解析式，設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況，確定函數(shù)的極值，利用關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，建立不等式，即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數(shù)，可得f′(x)=1-

a

x

（x＞0）
若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調增，∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，則f′（x）＞0時，x＞a，f′（x）＜0時，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（a，+∞）．單調減區(qū)間為（0，a）；
（2）∵y=f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1
∴f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x²+b，即x-lnx+2x=x²+b，亦即x²-3x+lnx+b=0
設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0）
則g'（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	b-2+ln2

當x=1時，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（

1

2

）=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根
∴g（

1

2

）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0
∴b-

5

4

-ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0
∴

5

4

+ln2≤b＜2

點評：本題主要考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．