Question

已知，設(shè)
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求F（x）的最小值
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=4代入到F（x）中化簡(jiǎn)得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（2）可設(shè)，，F(xiàn)（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函數(shù)的單調(diào)性求最值的方法求出最值即可列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可．
解答：解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，∴，F(xiàn)（x）_min=15（4分）
（2）（6分）
設(shè)，則，令∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函數(shù)的單調(diào)性知，解得a＞1（12分）
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用、利用整體代換的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．