設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),求證:
(1)f(0)=0;
(2)f(3)=3f(1);
(3)f(
1
2
)=
1
2
f(1)
分析:(1)令x=y=0,即可得到關(guān)于f(0)的方程,解方程即可求出;
(2)先令x=1,y=1,代入恒等式求f(2),再令x=2,y=1求f(3);
(3)x=y=
1
2
,由恒等式整理既得所要的結(jié)論.
解答:解:(1)∵對任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)∴當(dāng)x=y=0時(shí),有f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0
(2)同(1),∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)
(3)同(1),取x=y=
1
2
,有f(1)=f(
1
2
)+f(
1
2
)
f(
1
2
)=
1
2
f(1)
點(diǎn)評:本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,求解的關(guān)鍵是理解恒等式的意義以及靈活賦值的方式,利用恒等式求值或式,根據(jù)要求的或要證的進(jìn)行選擇性賦值很關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對任意x∈R,都有f(x)=f(2-x)成立,且當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),(x-1)f′(x)<0(其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)).設(shè)a=f(0),b=f(
1
2
),c=f(3)
,則a、b、c三者的大小關(guān)系是(  )
A、a<b<c
B、c<a<b
C、c<b<a
D、b<c<a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n+1)=
2f(n)+n
2
(n∈N*),且f(1)=2,則f(20)為( 。
A、95B、97
C、105D、192

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)兩個(gè)函數(shù)值較大的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)都成立,則稱函數(shù)f(x) 為“倍約束函數(shù)”.給出下列函數(shù),其中是“倍約束函數(shù)”的為


  1. A.
    f(x)=2
  2. B.
    f(x)=數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    f(x)=x2
  4. D.
    f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對一切實(shí)數(shù)x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|成立

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