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已知函數．設數列{an}滿足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）已知數列{bn}滿足，，求證：對一切正整數n≥1都有＜2．
【答案】分析：（1）由，an+1=f（an）（n∈N+）知：，由此能求出．
（2）由bn+1=（1+bn）2•，知bn+1=bn（bn+1），故=，由此利用裂項求法能夠證明對一切正整數n≥1都有＜2．
解答：（1）解：∵，an+1=f（an）（n∈N+），
∴，…1分
=，…..3分
=1，…5分
∴{}是以為首項，1為公差的等差數列，
即，
∴．…6分
（2）證明：由已知得bn+1=（1+bn）2•，
∴bn+1=bn（bn+1），顯然bn∈（0，+∞），…7分
∴=====，…9分
∴
=（）+（）+…+（）
=
=2-＜2．…11分
所以，對一切正整數n≥1都有＜2．…12分
點評：本題考查數列的通項公式的求法和不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a1，b1]時值域為[a2，b2]，當x∈[a2，b2]時值域為[a3，b3]，當x∈[an-1，bn-1]時值域為[an，bn]…其中a、b為常數，a1=0，b1=1
（1）若a=1，b=2，求數列{an}和{bn}的通項公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使數列{bn}是公比不為1的等比數列，求b的值．
（3）若a＞0，設數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，求Tn-Sn的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x+1-aa-x
，a∈R．利用函數y=f（x）構造一個數列{xn}，方法如下：對于定義域中給定的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n∈N*），…如果取定義域中任一值作為x1，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn}．
（1）求實數a的值；
（2）若x1=1，求（x1+1）（x2+1）…（xn+1）的值；
（3）設Tn=（x1+1）（x2+1）…（xn+1）（n∈N*），試問：是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立，若存在，試確定n及相應的x1的值；若不存在，請說明理由？

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•嘉定區(qū)一模）（理）已知函數f(x)=log2
2
x
1-x
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）圖象上兩點．
（1）若x1+x2=1，求證：y1+y2為定值；
（2）設Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求Tn關于n的解析式；
（3）對（2）中的Tn，設數列{an}滿足a1=2，當n≥2時，an=4Tn+2，問是否存在角a，使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)＜
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：學習周報　數學　人教課標高二版(A必修5)　2009－2010學年　第5期　總第161期 人教課標版(A必修5) 題型：044

已知函數f(x)＝(a，b為常數，a≠0)，滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有兩個相同的根．

(1)求f(x)的表達式；

(2)設數列{xn}滿足xn+1＝f(xn)，且x1＞0，證明數列{}是等差數列．

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科目：高中數學 來源：2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)、數學(理) 題型：044

已知函數．

(Ⅰ)設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1＝3．若點(n∈N*)在函數y＝的圖象上，求證：點(n，Sn)也在y＝的圖象上；

(Ⅱ)求函數f(x)在區(qū)間(a－1，a)內的極值．

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