Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，橢圓的上焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程.

（2）設(shè)過橢圓的上頂點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，由，求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求得，即可求得直線的方程.

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以

即可得，所以橢圓的方程為，

把點(diǎn)代入中，

解得

所以橢圓方程為

（2）設(shè)直線的斜率為，

則直線的方程為

由

設(shè)由（1）知，設(shè)，

則有

所以 所以

因?yàn)?/span>，所以在線段的中垂線上.

所以，又，

所以，即，

設(shè)，又直線垂直

∴

∴，即

又 ∴，

又∴

所以直線的方程為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和數(shù)量積公式，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.