Question

下面給出的4個命題：
①已知命題p：?x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則?p：?x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0；
②函數(shù)f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2個零點(diǎn)；
③對于定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)不斷的函數(shù)y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分條件是f（a）f（b）＜0；
④對于定義在R上的函數(shù)f（x），若實(shí)數(shù)x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的不動點(diǎn)．若f（x）=x²+ax+1不存在不動點(diǎn)，則a的取值范圍是（-1，3）．
其中正確命題的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)全稱命題否定的方法，求出原命題的否定形式，可判斷①，根據(jù)函數(shù)y=2^-x與函數(shù)y=sinx的圖象在[0，2π]上交點(diǎn)個數(shù)，可判斷②，根據(jù)零點(diǎn)存在定理及充要條件的定義，可判斷③，根據(jù)不動點(diǎn)的定義及一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，可判斷④．

解答：解：命題p：?x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0的否定?p：?x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0；故①正確；
∵函數(shù)y=2^-x與函數(shù)y=sinx的圖象在[0，2π]上恰好有2個交點(diǎn)，故函數(shù)f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2個零點(diǎn)，故②正確；
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)不斷的函數(shù)y=f（x），若f（a）f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使f（c）=0；但存在c∈（a，b），使f（c）=0時，f（a）f（b）＜0不一定成立，故存在c∈（a，b），使f（c）=0的充分不必要條件是f（a）f（b）＜0；故③不正確；
f（x）=x²+ax+1不存在不動點(diǎn)，則方程x²+ax+1=x，即x²+（a-1）x+1=0無實(shí)數(shù)根，即△=（a-1）²-4＜0，
解得a∈（-1，3），故④正確；
故正確命題的個數(shù)是3個
故選C

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體考查了全稱命題的否定，函數(shù)的零點(diǎn)，充要條件，零點(diǎn)存在定理，綜合性強(qiáng)，其中③中P是Q的充分不必要條件和P的充分不必要條件是Q，容易混淆．