Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足b₁+b₂+b₃=18，且a₁+b₁+2，a₂+b₂，a₃+b₃-3成等比數(shù)列，證明：++…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得a_n+1=3a_n+n，n≥2，故數(shù)列{a_n+}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b₁+b₂+b₃=18，得b₂=6，設(shè){b_n}的公差為d，且d＞0，得（9-d）（16+d）=100，故．再由=．由此能夠證明++…+＜．
解答：解：（1）由，
得a_n+1=3a_n+n，n≥2，
∴a_n+1+，（3分）
又也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n+}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列．
∴，
∴．
（2）∵等差數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，滿足b₁+b₂+b₃=18，
∴b₂=6，設(shè){b_n}的公差為d，且d＞0，
依題意可得9-d，10，16+d成等比數(shù)例，
∴（9-d）（16+d）=100，解得d=4，或d=-11，（舍去），
∴．（8分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
=．
∴＜
==．
∴++…+＜．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n基和公式、通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用．