Question

已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R．

(1)證明：若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；

(2)判斷(1)的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

證 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a．∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 　　解 (2)逆命題：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0．用反證法證明．假設(shè)a＋b＜0，則a＜－b，b＜－a，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，與條件矛盾．∴逆命題成立．

提示：

由反證法中的假設(shè)a＋b＜0，仿(1)的推理導(dǎo)出矛盾．有了假設(shè)a＋b＜0，便增加了條件a＞－b和b＞－a，由此可用(1)的結(jié)論．