【題目】在三棱錐中，.

（1）求證：；

（2）若點 為上一點，且，求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點E，連接，然后由等腰三角形的性質(zhì)推出，從而利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)可使問題得證；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，然后求出相關(guān)點的坐標，再求出平面的一個法向量，從而利用空間向量的夾角公式求解即可.

解：

（1）證明：取的中點E，連接，

∵，∴，

同理可得，

又，∴平面，

又平面，∴.

（2）∵，

∴為等腰直角三角形，且，

∴，∴，即，

又，且，∴平面，

∴以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∴，

設，∵，，

∴，

∴∴，

∴，

又，

設是平面的法向量，

則

令，得，∴，

設直線與平面所成角為，

則

，

∴直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】在直角坐標系xOy中，直線l過點且傾斜角為.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，l與C交于M，N兩點.

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【題目】過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，若且中點的縱坐標為3．

（Ⅰ）求的值；

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【題目】已知拋物線上的點到焦點的距離為.

（1）求的值；

（2）如上圖，已知動線段（在的右邊）在直線上，且，現(xiàn)過作的切線，取左邊的切點，過作的切線，取右邊的切點為，當，求點的橫坐標的值.

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