Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；

（2）若在定義域內(nèi)有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）{或}

【解析】

（1）依題意知函數(shù)的定義域為，可得，對參數(shù)分類討論，并利用導數(shù)進行求解；

（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在定理求解，即可求得答案.

（1）依題意知函數(shù)的定義域為，

且.

若，則當時，，此時不符合題意.

若，記，則，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

故有最小值

①若，即，的最小值為，

故（當且僅當時等號成立），此時單調(diào)遞增，符合題意.

②若，則，

當時，單調(diào)遞增，

又，

當時，，單調(diào)遞減，不符合題意.

③若，則，

當時，單調(diào)遞減.

又，

當時，，單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，實數(shù)的值為.

（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

有唯一的零點，符合題意；

當時，單調(diào)遞增，有唯一的零點，符合題意.

下面考慮且的情況.

由（1）知，，且，

下面證明：，

易得：，

設(shè)

令，解得：

令，解得：

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

則函數(shù)在處取得最小值，

，則

即

設(shè)，

令，解得

，解得

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

則在處取得最大值，

，

即，即

則

即可證得成立，

證明：完畢

，

于是有（因為），

下面證明成立

設(shè)

在同一坐標系畫出：和圖象

由圖象可得：時，

,單調(diào)增函數(shù)，

成立，

證明成立完畢

，

故存在，，使得.

又，

或.

若，即，

由（1）令

在同一坐標系畫出，

，單調(diào)增函數(shù)，

，

，

從而，，，可知有兩個零點.

若，即，

注意到，，，

可知有兩個零點.

故實數(shù)的取值范圍是或.