Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，
P、Q分別是CC₁、C₁D₁的中點．點P到直線AD₁的距離為

66

4

．
（1）求證：AC∥平面BPQ；
（2）求二面角B-PQ-D的大小．

Answer 1

分析：先利用P到直線AD₁的距離為

66

4

，計算棱AD的長，由與AD⊥DC⊥DD₁，所以以這三條棱為軸建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標和相關(guān)向量的坐標，（1）先利用線面垂直的判定，求出平面BPQ的法向量

a

，再利用向量數(shù)量積運算證明AC垂直于平面BPQ的法向量，從而AC平行于平面BPQ，（2）先證明平面DPQ的法向量為

DA

，再結(jié)合（1），利用向量夾角公式計算兩個法向量的夾角的余弦值即可的二面角的大小

解答：解：如圖1：設(shè)AD=a，則D到直線AD₁的距離為

AD×DD1

AD1

=

a

a2+1

取DD₁中點M，過M作MG⊥AD₁，連接PM，PG
則M到直線AD₁的距離MG=

a

2 a2+1

∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD₁A₁
∴AD₁⊥PM，又MG⊥AD₁，
∴AD₁⊥平面PMG
∴PG⊥AD₁
∴PG就是點P到直線AD₁的距離
∴PG=

66

4

在Rt△PMG中，PM²=PG²-MG²，即4=(

66

4

)2-(

a

2 a2+1

)2，
解得a=1，即AD=1
如圖2：建立空間直角坐標系
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，

1

2

），Q（0，1，1）
∴

BP

=（-1，1，

1

2

），

PQ

=（0，-1，

1

2

），

AC

=（-1，2，0）
（1）證明：設(shè)平面BPQ的法向量為

a

=（x，y，z）
則

a • BP  =-x+y+ 1 2 ×z=0 a •  PQ =-y+ 1 2 ×z=0

取其法向量為

a

=（2，1，2）
∵

AC

•

a

=-2+2+0=0
∴

AC

⊥

a

，AC?平面BPQ
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量為

DA

=（1，0，0）
由（1）知，平面BPQ的法向量為

a

=（2，1，2）
∴cos＜

DA

，

a

＞=

DA • a

| DA || a |

=

2

1× 9

=

2

3

∴二面角B-PQ-D的大小為arccos

2

3

點評：本題綜合考查了點到直線的距離的作法、證法、求法，利用空間直角坐標系和空間向量證明線面平行、計算二面角的方法