Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求二面角E-AB-D的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取PD的中點(diǎn)M，由已知得四邊形MEBF是平行四邊形，由此能證明BE∥平面PDF．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用同向量法能求出二面角E-AB-D的大�。�

解答： （1）證明：取PD的中點(diǎn)M，
∵E是PC的中點(diǎn)
∴ME是△PCD的中位線，
∴ME

∥

.

1

2

CD，
∵底面ABCD是菱形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，
∴ME∥FB，且ME=FB，
∴四邊形MEBF是平行四邊形
∴BE∥MF
∵BE∥平面PDF，
MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）以A為原點(diǎn)，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知P（0，0，1），C（

3

，3，0），E（

3

2

，

3

2

，

1

2

），
A（0，0，0），B（

3

，1，0），D（0，2，0），

AB

=(

3

，1，0)，

AE

=（

3

2

，

3

2

，

1

2

），

AD

=（0，2，0），
平面BAD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)平面ABE的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AB = 3 x+y=0 m • AE = 3 2 x+ 3 2 y+ 1 2 z=0

，
取x=

3

，得

m

=（

3

，-3，6），
∴cos＜

m

，

n

＞=

6

3+9+36

=

3

2

∴二面角E-AB-D的大小為30°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．