Question

設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為Z₁，Z₂，…，Z₂₀，則復數(shù)

Z

1995 1

，Z

1995 2

…，

Z

1995 20

所對應的不同的點的個數(shù)是（　�。�

A．4

B．5

C．10

D．20

Answer 1

分析：由題意可得Z_i=cos

2kπ

20

+isin

2kπ

20

，（ i=1，2，3，…，20，k=0，1，2，3，…19），計算可得

Z

1995 i

的值具有周期性，且周期為4，求出

Z

1995 1

、

Z

1995 2

 、

Z

1995 3

、

Z

1995 4

 的值，由此得出結(jié)論．

解答：解：由題意可得Z_i=cos

2kπ

20

+isin

2kπ

20

，（ i=1，2，3，…，20，k=0，1，2，3，…19），
故

Z

1995 1

=1，

Z

1995 2

=cos（1995×

2π

20

）+isin（1995×

2π

20

）=-i，

Z

1995 3

=cos（1995×

4π

20

）+isin（1995×

4π

20

）=-1，

Z

1995 4

=cos（1995×

6π

20

）+isin（1995×

6π

20

）=i，

Z

1995 5

=cos（1995×

8π

20

）+isin（1995×

8π

20

）=1，…
由此可得

Z

1995 i

的值具有周期性，且周期為4，故復數(shù)

Z

1995 1

，Z

1995 2

Z…，

Z

1995 20

所對應的不同的點的個數(shù)是4，
故選A．

點評：本題主要考查復數(shù)運算的棣莫弗定理的應用，利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的值域，屬于基礎題．