Question

平面向量

a

，

b

，

e

滿(mǎn)足|

e

|=1，

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，|

a

-

b

|=2，則

a

•

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由|

e

|=1，不妨設(shè)

e

=（1，0）．由

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，可設(shè)

a

=（1，m），

b

=（2，n）．利用|

a

-

b

|=2，可得

1+(m-n)2

=2，（m+n）²=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運(yùn)算

a

•

b

=2+mn即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
∵|

e

|=1，∴不妨設(shè)

e

=（1，0）．
∵

a

•

e

=1，

b

•

e

=2，
∴可設(shè)

a

=（1，m），

b

=（2，n）．
∴

a

-

b

=（-1，m-n）．
∵|

a

-

b

|=2，
∴

1+(m-n)2

=2，化為（m-n）²=3，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-

3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)m=-n=±

3

2

時(shí)取等號(hào)．
∴

a

•

b

=2+mn≥2-

3

4

=

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)建立直角坐標(biāo)系解決向量有關(guān)問(wèn)題、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．