Question

（1）解含x的不等式：22x+1＜(

1

4

)2-3x；
（2）求函數f（x）=log₂（-x²-2x+3）的值域，并寫出其單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據指數函數的單調性即可求解；
（2）利用復合函數單調性之間的關系進行求解．

解答： 解：（1）不等式22x+1＜(

1

4

)2-3x等價為2^2x+1＜2^2（3x-2），
即2x+1＜6x-4，
則4x＞5，解得x＞

5

4

，則不等式的解集為（

5

4

，+∞）．
（2）設t=-x²-2x+3，為-x²-2x+3＞0，即x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∵t=-x²-2x+3=-（x+1）²+4∈（0，4]，
∴l(xiāng)og₂t≤log₂4=2，即y≤2，則函數的值域為（-∞，2]，
要求函數f（x）的單調遞增區(qū)間，即求函數t=-x²-2x+3的遞增區(qū)間，
∵當x∈（-3，-1]時，函數t=-x²-2x+3遞增，
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（-3，-1]．

點評：本題主要考查指數不等式的求解以及對數函數的性質，利用換元法結合復合函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵．