12．已知函數(shù)f（x）=alnx+x2+bx+1在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-12=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1），得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）求導f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x+b，由題意得：
f′（1）=4，f（1）=-8，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=b+2=-8}\\{f′（1）=a+b+2=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
所以f（x）=12lnx+x2-10x+1；
（2）f（x）定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-5x+6）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）遞增，在（2，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故f（x）極大值=f（2）=12ln2-15，
f（x）極小值=f（3）=12ln3-20．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，點A在平面A1BC中的投影為線段A1B上的點D．
（1）求證：BC⊥A1B
（2）點P為AC上一點，若AP=PC，AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，求二面角P-A1B-C的平面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．要證明“sin4θ-cos4θ=2sin2θ-1”，過程為：“sin4θ-cos4θ=（sin2θ+cos2θ）（sin2θ-cos2θ）=sin2θ-cos2θ=sin2θ-（1-sin2θ）=2sin2θ-1”，用的證明方法是（　　）
A．分析法B．反證法C．綜合法D．間接證明法

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)g（x）=x2-（2a+1）x+alnx．
（1）當a=1時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

7．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點A（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），設它在A點處的切線l，則過點A與l垂直的直線方程為4x+4y-3=0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+x+1}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=xf（x）-$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$在[1，e]上是最小值為$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）如果當x≥1時，不等式f（x）≥$\frac{a}{x+1}$+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（0＜b＜3）$的左、右焦點分別為F1、F2，橢圓上存在一點A，使得AF1=2AF2，且∠F1AF2=90°
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：x=1與橢圓C交于P，Q兩點，點M為橢圓C上一動點，直線PM，QM與x軸分別交于點R，S，求證：|OR|•|OS|為常數(shù)（O為原點），并求出這個常數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)f（x）=（x-k）ex（k∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（3）設g（x）=f（x）+f′（x），若對${?^{\;}}^{\;}k∈[{\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=|a2x2-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．
（1）當a＜0時，若函數(shù)y=f（x）-c恰有x1，x2，x3，x4這4個零點，求x1+x2+x3+x4的值；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案