已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的兩個焦點，A、B為過F1的直線與橢圓的交點，且△F2AB的周長為4
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）判斷
1
|F1A|
+
1
|F1B|
是否為定值，若是求出這個值，若不是說明理由．
分析：（Ⅰ）由題意知，c=1，a=
3
，b=
3-1
=
2
，由此可知橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）當直線斜率不存在時，有x1=x2=-1，y1=
2
3
3
，y2=-
2
3
3
，
1
|F1A|
+
1
|F1B|
=
2
2
3
3
=
3
；直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0，然后由根與系數(shù)的關系能夠?qū)С?span id="vvz7nz7" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
1
|F1A|
+
1
|F1B|
的值．
解答：解：（Ⅰ）由橢圓定義可知，4a=4
3
，c=1
所以a=
3
，b=
3-1
=
2

所以橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1（5分）
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）
（1）當直線斜率不存在時，有x1=x2=-1（2），y1=
2
3
3
（3），y2=-
2
3
3
（4）
1
|F1A|
+
1
|F1B|
=
2
2
3
3
=
3
（6分）
（2）當直線斜率存在時，設直線方程為y=k（x+1）代入橢圓方程，并整理得：（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0（7分）
所以x1+x2=-
6k2
2+3k2
， x1x2=
3k2-6
2+3k2
（或求出x1，x2的值）
所以
1
|F1A|
+
1
|F1B|
=
1
(x1+1)2+
y
2
1
+
1
(x2+1)2+
y
2
2
=
1
1+k2
(
1
|x1+1|
+
1
|x2+1|
)=
1
1+k2
×
|x1-x2|
|x1x2+x1+x2+1|
=
1
1+k2
×
36k4
(2+3k2)2
-4×
3k2-6
2+3k2
|-
6k2
2+3k2
+
3k2-6
2+3k2
+1|
=
1
1+k2
×
4
3k2+3
4
=
3
（12分）
所以
1
|F1A|
+
1
|F1B|
=
3
（13分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），A（
1
2
，0），動點P滿足3
PF1
•
PA
+
PF2
•
PA
=0．
（1）求動點P的軌跡方程．
（2）是否存在點P，使PA成為∠F1PF2的平分線？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點p滿足|
PF
1|+|
PF
2|=2
2
，記點P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F2（1，0）作直線l與軌跡E交于不同的兩點A、B，設
F2A
=λ
F2B
，T（2，0），，若λ∈[-2，-1]，求|
TA
+
TB
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點，若橢圓上一點P滿足|
PF1
|+|
PF2
|=4，則橢圓的離心率e=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-1，0）、F2（1，0）為橢圓的焦點，且直線x+y-
7
=0與橢圓相切．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過F1的直線交橢圓于A、B兩點，求△ABF2的面積S的最大值，并求此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點，點G與F2關于直線l：x-2y+4=0對稱，且GF1與l的交點P在橢圓上．
（I）求橢圓方程；
（II）若P、M（x1，y1），N（x2，y2）是橢圓上的不同三點，直線PM、PN的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否是定值？如果是，求出該定值，如果不是，說明理由．

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