Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x+1，F(xiàn)（x）=

f(x)(x≥0) -f(x)(x＜0)

，若x∈R時(shí)，g（x）=F（x）-kx是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、-1≤k≤1
• B、k≥1
• C、k≤-2
• D、k＜-1

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和分段函數(shù)的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答時(shí)，首先應(yīng)該轉(zhuǎn)化出函數(shù)F（x）的解析式，然后轉(zhuǎn)化出函數(shù)g（x）的解析式，再結(jié)合：x∈R時(shí)，g（x）=F（x）-kx是增函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可獲得問(wèn)題的解答．

解答：解：由題意可知：F(x)=

x2+x+1，x≥0 -x2-x-1，x＜0

，
∴g(x)=

x2+(1-k)x+1，x≥0 -x2-(k+1)x-1，x＜0

，
又因?yàn)槿我獾膞∈R時(shí)，g（x）=F（x）-kx是增函數(shù)，
 所以對(duì)于x≥0時(shí)，有-

1-k

2

=

k-1

2

≤0，解得k≤1；
x＜0時(shí)，有-

-(k+1)

-2

=-

k+1

2

＞0，解得k＜-1；
又因?yàn)?＞-1，
所以k的取值范圍是k＜-1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和分段函數(shù)的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分段函數(shù)的思想、分類(lèi)討論的思想以及函數(shù)單調(diào)性的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．