Question

已知直線l的方程為x-2y-2=0，數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線l上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在a_n和a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，令Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

，試證明Tn＜

15

16

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得{a_n}為首項(xiàng)是2，公比是3的等比數(shù)列，從而可求其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2•3ⁿ=2•3^n-1+（n+1）d_n，可求得

1

dn

=

n+1

4

•(

1

3

)n-1，從而可得T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

3

4

•(

1

3

)1+…+

n+1

4

•(

1

3

)n-1，利用錯(cuò)位相減法即可求得T_n，從而可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n+1，S_n）在直線l：x-2y-2=0上，
∴a_n+1-2S_n-2=0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-2S_n-1-2=0，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n，
又a₂-2S₁-2=0，
∴a₂=2a₁+2=6=3a₁，
∴{a_n}為首項(xiàng)是2，公比是3的等比數(shù)列，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴2•3ⁿ=2•3^n-1+（n+1）d_n，
∴

1

dn

=

n+1

4

•(

1

3

)n-1，
∴T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

3

4

•(

1

3

)1+…+

n+1

4

•(

1

3

)n-1，

1

3

T_n=

2

4

•(

1

3

)1+

3

4

•(

1

3

)2+…+

n+1

4

•(

1

3

)n，
兩式相減得：

2

3

T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

1

4

•(

1

3

)1+

1

4

•(

1

3

)2+…+

1

4

•(

1

3

)n-1-

n+1

4

•(

1

3

)n，
=

1

2

+

1

4

•

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

n+1

4

•(

1

3

)n
=

1

2

+

1

8

（1-(

1

3

)n-1）-

n+1

4

•(

1

3

)n，
∴T_n=

15

16

-（

9

16

+

n+1

4

）•(

1

3

)n＜

15

16

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算與證明能力，屬于難題．