Question

已知拋物線y²=2x．
（1）在拋物線上任取二點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），經(jīng)過線段P₁P₂的中點(diǎn)作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點(diǎn)P₃，證明△P₁P₂P₃的面積為；
（2）經(jīng)過線段P₁P₃、P₂P₃的中點(diǎn)分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次交于Q₁、Q₂，試將△P₁P₃Q₁與△P₂P₃Q₂的面積和用y₁，y₂表示出來；
（3）仿照（2）又可做出四個(gè)更小的三角形，如此繼續(xù)下去可以做一系列的三角形，由此設(shè)法求出線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P₁和P₂的坐標(biāo)可表示出P₁P₂的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得P₃的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．代入△P₁P₂P₃的面積表達(dá)式，化簡整理即可．
（2）根據(jù)P₁和P₃的坐標(biāo)可表示出P₁P₃的中點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出點(diǎn)Q₁的橫、縱坐標(biāo)和點(diǎn)Q₂的橫、縱坐標(biāo)，再由行列式求面積的方法求出面積．
（3）根據(jù)線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積等于+（+）可得到答案．
解答：解：（1）∵P₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁），P₂的坐標(biāo)為（x₂，y₂），
∴P₁P₂的中點(diǎn)為
點(diǎn)P₃的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)
△P₁P₂P₃的面積=的絕對值
=
=
=
=
=．

（2）∵P₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
P₃的坐標(biāo)為，
∴P₁P₃的中點(diǎn)為，
點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)
同理，點(diǎn)Q₂的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)
△P₁P₃Q₁的面積+△P₂P₃Q₂的面積
=的絕對值+的絕對值
=
=-y₂|•|（y₂-y₁）²|
=．

（3）線段P₁P₂與拋物線所圍成的圖形的面積
S=+（+）
=
=．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)和用行列式的方法求面積．考查計(jì)算能力和綜合運(yùn)用能力．