Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC．
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（，b，0），從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得b的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角
解答：解：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)D（，b，0），則C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0）
∴=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，）
∴•=-=0，•=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）=（0，0，2），=（，-b，0）
設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則
取=（b，，0）
設(shè)平面PBC的法向量為=（p，q，r），則
取=（1，-，）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b-=0．故b=
∴=（1，-1，），=（-，-，2）
∴cos＜，＞==
設(shè)PD與平面PBC所成角為θ，則sinθ=
∴θ=30°
∴PD與平面PBC所成角的大小為30°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題