Question

觀察下列兩個結論：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，則

1

a

+

1

b

≥4；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，則

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9；先證明結論（Ⅱ），再類比（Ⅰ）（Ⅱ）結論，請你寫出一個關于n個正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n的結論？（寫出結論，不必證明．）

Answer 1

分析：利用條件a+b+c=1，構造柯西不等式（1+1+1）²≤（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），進行求解．再類比（Ⅰ）（Ⅱ）結論寫出一個關于n個正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n的結論即可．

解答：解：由柯西不等式（1+1+1）²≤（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
得3²≤1×（

1

a

+

1

b

+

1

c

），
所以

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9，
類比（Ⅰ）（Ⅱ）結論，寫出一個關于n個正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n的結論是：
若a_i∈R⁺（i=1，2，3，…，n），且

n

i=1

ai=1，則

n

i=1

1

ai

≥n²．

點評：本題主要考查了函數(shù)的最值，以及柯西不等式的應用，要求熟練掌握柯西不等式的應用．