Question

如圖，己知正四棱棱柱AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接B₁C和A₁C
（1）在線段CC₁上求一點E使得A₁C⊥面BED（即求出CE的長）；
（2）求點A到平面A₁B₁C的距離；
（3）求直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：法一：（1）由題設(shè)知，欲使得段CC₁上求一點E使得A₁C⊥面BED，又B₁C是A₁C在外側(cè)面上的投影，故必有B₁C⊥BE，可證得△BCB₁～△BCE，進而可求得CE：BC=1：2，求出CE的值．
（2）點A到平面A₁B₁C的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面A₁B₁C的距離，即求BF；
（3）連接DF可證得∠EDF就是DE與平面A₁B₁C所成角，正弦值易求
法二：本題具備建立空間坐標(biāo)系的條件，故可用空間向量法求解
（1）證A₁C⊥面BED問題可轉(zhuǎn)化為A₁C與平面的法向量共線的問題，
（2）點A到平面A₁B₁C的距離轉(zhuǎn)化成向量BC在平面法向量上的投影的長度來解決；
（3）求直線DE與平面A₁B₁C所成角的正弦值可轉(zhuǎn)化為求DE與平面法向量的余弦的絕對值問題．

解答：解：法一：（1）∵A₁C⊥面BED，∴A₁C⊥BE，
由A₁B₁⊥面BB₁C₁C知，A₁C為面BB₁C₁C的斜線，B₁C為其射影，∴B₁C⊥BE．
∵△BCB₁～△BCE，∴

CE

BC

=

BC

BB1

=

1

2

?CE=

1

2

．
（2）可以證明AB∥面A₁B₁C，所以點A到平面A₁B₁C的距離與點B到平面A₁B₁C的距離相等；
又BE⊥A₁C，BE⊥B₁C，∴BE⊥面A₁B₁C，∴線段BF的長就是所求的距離．在△BCB₁中可以求得BF=

2 5

5

．
（3）連接DF有（2）知EF⊥面A₁B₁C，所以∠EDF就是DE與平面A₁B₁C所成角．在△BCE中求得EF=

5

10

，
△DCE中求得DE=

5

2

，∴sin∠EDF=

EF

DE

=

1

5

．
法二：本題還可以用向量法求解如下：
（1）根據(jù)正四棱棱柱性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2）．
設(shè)E（1，1，z），
∵A₁C⊥面BED，
∴A₁C⊥BE，∴

A1C

•

BE

=0，
∴（1，1，-2）•（0，1，z）=0，
∴z=CE=

1

2

．
（2）由（1）可以證明BE⊥面A₁B₁C，所以

BE

=(0，1，

1

2

)就是面A₁B₁C的法向量，
所以點A到平面A₁B₁C的距離d=|

AA1 • BE

| BE |

|=

2 5

5

．
（3）設(shè)直線DE與平面A₁B₁C所成角為θ，則sinθ=|

DE • BE

| DE |×| BE |

|=

1

5

．

點評：本是考點是點、線、面間的距離計算，綜合考查了線面垂直，點到面的距離、線面角，由兩種方法解題過程可以看出，解決本題用空間向量方法較好，用空間向量求線面角、面面角、點到面的距離等立體幾何問題大降低了解決問題時的思維難度，但其缺點也很明顯，即運算量稍大，解完本題請比較一下兩種方法的優(yōu)劣．