Question

（類型A）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

2

3

，-

1

3

)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．
（類型B）已知函數(shù)f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

2

3

，-

1

3

)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（類型A）（1）求出函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，對參數(shù)a的范圍進行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

2

3

，-

1

3

)內(nèi)是減函數(shù)，即導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(-

2

3

，-

1

3

)內(nèi)恒小于0由二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式，解出a的取值范圍．
（類型B））（1）求出函數(shù)f（x）=x³-ax+1，對參數(shù)a的范圍進行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先由函數(shù)求導(dǎo)，再由“函數(shù)f（x）在區(qū)間 (-

2

3

，-

1

3

)內(nèi)是減函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立”，進一步轉(zhuǎn)化為最值問題：3x²≤a在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立，求得函數(shù)的最值即可．

解答：解：（類型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
當(dāng)a²≤3時，即 -

3

≤a≤

3

時，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當(dāng)a²＞3時，即 a＜-

3

或 a＞

3

時，△＞0，f'（x）=0求得兩根為 x=

-a± a2-3

3

即f（x）在 (-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上遞增，在 (

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)遞減．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即 2a≥

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在 (-

2

3

，-

3

3

)上為減函數(shù)，在 (-

3

3

，-

1

3

)上為增函數(shù)．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a(chǎn)的取值范圍是[2，+∞）．
（類型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
當(dāng)a≤0時，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當(dāng)a＞0時，f'（x）=0求得兩根為x=±

a 3

即f（x）在（-∞，- 

a 3

），（

a 3

，+∞）上遞增，在（-

a 3

，

a 3

）遞減．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即a≥3x²在 (-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知3x²在（-

2

3

，-

1

3

）上為減函數(shù)，
所以a≥

4

3

．a(chǎn)的取值范圍是[

4

3

，+∞）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于第一問要注意到參數(shù)的取值范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響故需要對參數(shù)分類討論，而第二問中關(guān)鍵是把函數(shù)是減函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立的問題，轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)在應(yīng)用很廣泛．