Question

已知函數(shù)，其定義域?yàn)?img width=39 height=24 id="_x268A6113KaLE_i1352" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/30/283630.gif">（），設(shè)。

   （Ⅰ）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

   （Ⅱ）試判斷的大小并說明理由；

（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的,總存在，滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見解析。

解析:

（Ⅰ）因?yàn)?img width=321 height=24 id="_x268A6113KaLE_i1365" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/43/283643.gif">……1分

由；由，

所以在上遞增，在上遞減�！�…3分

要使在上為單調(diào)函數(shù)，則�！�…4分

（Ⅱ）。

因?yàn)?img width=36 height=21 id="_x268A6113KaLE_i1375" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/46/283646.gif">在上遞增,在上遞減，

所以在處取得極小值，……6分

又，所以在上的最小值為 ，……8分

從而當(dāng)時(shí)，，即�！�…9分

（Ⅲ）證明：因?yàn)?img width=109 height=44 id="_x268A6113KaLE_i1388" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/66/283666.gif">，所以，即為,

令，

從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解，

并討論解的個(gè)數(shù)                                ……10分

因?yàn)?img width=251 height=41 id="_x268A6113KaLE_i1394" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/72/283672.gif">，

，所以

①當(dāng)時(shí)，，

所以在上有解，且只有一解；……12分

②當(dāng)時(shí)，，但由于，

所以在上有解，且有兩解�！�…13分

③當(dāng)時(shí)，，

所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí)，，

所以在上也有且只有一解�！�…14分

綜上所述，對(duì)于任意的，總存在，滿足，

且當(dāng)時(shí)，有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)適合題意。              ……15分

（說明:第（Ⅱ）題也可以令，，

然后分情況證明在其值域內(nèi)，

并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù)）