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已知數列an，bn，滿足a1=2，2an=1+2anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數列數學公式是等差數列，并求數列an的通項公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數列Cn的前n項和，求證：Sn＜1．

解：（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
∴bnbn+1+bn+1-bn=0，從而有 ，
∵b1=a1-1=2-1=1，
∴是首項為1，公差為1的等差數列，
∴，即 ；
∴an=，

（2）由題意可知：Cn=bnbn+1=，
∴Sn=Cn+Cn+Cn+…+Cn=1-
=1-＜1．
即Sn＜1．
分析：（1）將bn=an-1代入2an=1+anan+1，可得bn的遞推關系式，整理變形可得 ，由等差數列的定義可得 為等差數列，故可求其通項公式，進而求出an．
（2）根據（1）知Cn=bnbn+1=，利用裂項法求得數列 {Cn}的前n項的和，即可證得結論．
點評：此題是個中檔題．本題主要考查了等比差數列的定義、裂項法求和問題，和不等式與數列的綜合．考查了學生對基礎知識的綜合運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an，bn，xn滿足a1=b1=2，an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，xn=
an
bn
．
（1）填空：當n≥2時，xn
 
1．（填＞，=，＜中一個）
（2）求證：xn+1與xn中一個比
5
大，另一個比
5
小，并指出xn+1與xn中哪一個更接近于
5
．
（3）若數列{|xn-
5
|}的前n項和為Sn，求證：Sn＜
5
+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an、bn中，對任何正整數n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若數列an是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列bn是等比數列；
（2）若數列bn是等比數列，數列an是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數列an是等差數列，數列bn是等比數列，求證：
n
i=1
1
aibi
＜
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an和bn滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．
（1）試判斷數列an是否可能為等比數列，并證明你的結論；
（2）求數列bn的通項公式；
（3）設a＞0，Sn為數列bn的前n項和，如果對于任意正整數n，總存在實數λ，使得不等式a＜Sn＜a+1成立，求正數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an，bn，cn滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
（1）設cn=3n+6，an是公差為3的等差數列．當b1=1時，求b2，b3的值；
（2）設cn=n3，an=n2-8n求正整數k，使得一切n∈N*均有bn≥bk．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列an，bn，滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1（bn≠0）．
（I）求證數列{
1bn
}是等差數列，并求數列an的通項公式；
（II）令Cn=bnbn+1，Sn為數列Cn的前n項和，求證：Sn＜1．

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