Question

某市為鼓勵(lì)企業(yè)發(fā)展“低碳經(jīng)濟(jì)”，真正實(shí)現(xiàn)“低消耗、高產(chǎn)出”，施行獎(jiǎng)懲制度．通過制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，每年對(duì)本市50%的企業(yè)抽查評(píng)估，評(píng)出優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個(gè)等次，并根據(jù)等級(jí)給予相應(yīng)的獎(jiǎng)懲（如下表）．某企業(yè)投入100萬元改造，由于自身技術(shù)原因，能達(dá)到以上四個(gè)等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，

1

24

，且由此增加的產(chǎn)值分別為60萬元、40萬元、20萬元、-5萬元．設(shè)該企業(yè)當(dāng)年因改造而增加利潤為ξ．
（Ⅰ）在抽查評(píng)估中，該企業(yè)能被抽到且被評(píng)為合格及其以上等次的概率是多少？
（Ⅱ）求ξ的數(shù)學(xué)期望．

評(píng)價(jià)得分	（0，60）	[60，70）	[70，80）	[80，100]
評(píng)價(jià)等級(jí)	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
獎(jiǎng)懲 （萬元）	-80	30	60	100

Answer 1

分析：（1）由于該企事業(yè)被抽中的概率為50%，該企業(yè)被評(píng)為合格時(shí)必須抽中優(yōu)秀、良好或合格的產(chǎn)品，而能達(dá)到以上三個(gè)等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，故易得到該企業(yè)能被抽到且被評(píng)為合格及其以上等次的概率．
（2）先要根據(jù)題意，分析ξ所有可能取的值，并分析每一種取值的情況，逐一算出其出現(xiàn)的概率，然后列出分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)該企業(yè)能被抽中的概率且評(píng)為合格以上等次的概率為P，
則P=(

1

2

+

1

3

+

1

8

)×

1

2

=

23

48

（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為-185，-105，-80，-60，-50，-40，0，60，則P(ξ=60)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=0)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-50)=

1

8

×

1

2

=

1

16

P(ξ=-185)=

1

24

×

1

2

=

1

48

，P(ξ=-40)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=-60)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-80)=

1

8

×

1

2

=

1

16

，P(ξ=-105)=

1

24

×

1

2

=

1

48

則其分布列為

∴Eξ=(60-40)×

1

4

+(-60)×

1

6

+(-50-80)×

1

16

+(-185-105)×

1

48

=-

115

6

（萬元）

點(diǎn)評(píng)：解決等可能性事件的概率問題，關(guān)鍵是要弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個(gè)基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．同時(shí)（2）中概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也是高考的熱點(diǎn)．對(duì)于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟．