設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，a1=1，，bn=an2+an．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）求證：＜1．
【答案】分析：（1）利用數(shù)列{bn}與數(shù)列{an}的關(guān)系得出數(shù)列{bn}相鄰項之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，常常要轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列問題，要注意特殊數(shù)列的相關(guān)公式的運用；
（2）利用（1）中求得的bn的通項公式，通過方程思想解出數(shù)列{an}的通項公式；
（3）根據(jù)數(shù)列{an}的單調(diào)性尋找所證和式中的每一項與特殊數(shù)列的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，通過放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和從而達到證明該不等式的目的．
解答：解：（1）由條件得：an+12+an+1=2（an2+an）∴bn+1=2bn．
∵b1=a12+a1=2∴∴{bn}為等比數(shù)列∴bn=2n．
（2）由an2+an=2n得
又an＞0∴．
（3）證明：∵
=
∴{an}為遞增數(shù)列．
∴an2+an=（1+an）an＜（1+an）an+1
從而
∴
=．
點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列通項公式的聯(lián)系，考查學生通過遞推關(guān)系證明數(shù)列為特殊數(shù)列的方法，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，方程思想、數(shù)列單調(diào)性的判斷和運用，放縮法證明不等式等方法和技巧．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，且對任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，Sn是其前n項和，且對任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正實數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當n＞M時，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，它的前n項和為Sn，點（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n項和為Tn．
（1）求an；   
（2）求證：Tn-2n＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江蘇一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項的和為Sn，對于任意正整數(shù)m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列．

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