Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，已知，.

（1）求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求出其通項公式；

（2）設(shè)，又對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知為正整數(shù)且，數(shù)列共有項，設(shè)，又，求的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；（3）；

【解析】

(1)當時，由所給的遞推關(guān)系式進行作差變形證明后項與前項之差為常數(shù)即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，進一步可得數(shù)列的通項公式；

(2)結(jié)合(1)中的通項公式裂項求和，然后結(jié)合題意可確定實數(shù)的取值范圍；

(3)首先確定數(shù)列為等差數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定絕對值符號進行求和，得到關(guān)于k的不等式，最后求解關(guān)于k的不等式即可確定實數(shù)的所有可能取值.

(1)當時，，，

兩式作差得，

故，

所以數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列，

又，

所以；

(2)由于，故.

，

顯然單調(diào)遞增，且，

故， 所以.

(3)，則是公差為的等差數(shù)列，

故當時，;

當時，，

設(shè)數(shù)列的前n項和為，于是：

，

注意到，則，題中的不等式即，

所以，

所以，的所有可取值為.