Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)的和運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用待定系數(shù)法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可。結(jié)合橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得

（2）中假設(shè)存在直線滿足條件，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組

結(jié)合韋達(dá)定理可知且，即，

所以 ，解得.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061920002987582909/SYS201206192001544695333287_DA.files/image012.png">，解得．

所以最終得到k=1/2.

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，，故橢圓的方程為．  ……………………5分

（Ⅱ）若存在直線滿足條件，由題意可設(shè)直線的方程為，

由得.

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以.

整理得.

解得．

又，，

且，即，

所以 .  即 .

所以 ，解得.

所以．于是存在直線滿足條件，其的方程為.   ………………13分