Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1則
（1）2是函數f（x）的周期；
（2）函數f（x）在（2，3）上是增函數；
（3）函數f（x）的最大值是1，最小值是0；
（4）直線x=2是函數f（x）的一條對稱軸．
其中正確的命題是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）直接去x=x+1就能推出函數周期；
（2）根據函數在x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1為增函數，再由周期性能得到函數f（x）在（2，3）上是增函數；
（3）求出函數在[-1，1]上的最小值，也就是函數在定義域上的最小值；
（4）由函數f（x）的周期是2，且函數f（x）是偶函數，所以f（4+x）=f（x）=f（-x），所以能得到一條對稱軸．

解答：解：（1）由函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
取x=x+1則f（x+1+1）=f（x+1-1）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以2是函數f（x）的周期，所以（1）正確；
（2）因為當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1為增函數，又因為函數f（x）的周期是2，所以函數在[2，3]上的圖象與在[0，1]上的圖象完全相同，所以函數f（x）在（2，3）上是增函數，所以（2）正確；
（3）因為當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1為增函數，且函數f（x）為偶函數，所以在[-1，1]上函數的最小值為f（0）=

1

2

，
再由函數圖象以2為周期周期出現，所以函數f（x）的最小值是

1

2

，所以（3）不正確；
（4）由函數f（x）的周期是2，且函數f（x）是偶函數，所以f（4+x）=f（x）=f（-x），所以函數的一條對稱軸是x=2，所以（4）正確．
故答案為（1）（2）（4）．

點評：本題考查了函數的周期性及奇偶性，訓練了抽象函數的自變量的靈活替換，是高考常見題型．