Question

【題目】在菱形中，，為線段的中點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得平面平面，為線段的中點(diǎn)（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析. （Ⅱ）見(jiàn)解析. （Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）證明OD'⊥AO． 推出OD'⊥平面ABCO． 然后證明OD'⊥BC．（Ⅱ）取P為線段AD'的中點(diǎn)，連接OP，PM；證明四邊形OCMP為平行四邊形，然后證明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）說(shuō)明OD'是四棱錐D'﹣ABCO的高．通過(guò)體積公式求解即可．

（Ⅰ）證明：因?yàn)樵诹庑?/span>中，，為線段的中點(diǎn)，

所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面

平面平面，

平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>平面，

所以．

（Ⅱ）證明：如圖，取為線段的中點(diǎn)，連接OP,PM；

因?yàn)樵?/span>中，，分別是線段，的中點(diǎn)，

所以，．

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，菱形中，，，

所以．

所以，．

所以，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面．

所以 是四棱錐的高，又S= ,

因?yàn)?/span>，

所以．