Question

（2013•天津模擬）如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，設(shè)E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求證：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF∥PA，利用中位線定理即可得證；
（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需證明PA⊥面PDC，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明PA⊥PD，PA⊥DC，易證三角形PAD為等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性質(zhì)及正方形ABCD的性質(zhì)可證CD⊥面PAD，得CD⊥PA；
（Ⅲ）設(shè)PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM，MF，則EM⊥PD，由（Ⅱ）可證PD⊥平面EFM，則∠EMF是二面角B-PD-C的平面角，通過解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；

解答：（Ⅰ）證明：ABCD為平行四邊形，
連結(jié)AC∩BD=F，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD為正方形，
∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，
又PA=PD=

2

2

AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD=

π

2

，即PA⊥PD，
CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC，
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC；
（Ⅲ）解：設(shè)PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM，MF，則EM⊥PD，
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角，
Rt△FEM中，EF=

1

2

PA=

2

4

a，EM=

1

2

CD=

1

2

a，tan∠EMF=

EF

EM

=

2 4 a

1 2 a

=

2

2

，
故所求二面角的正切值為

2

2

；

點(diǎn)評：本題考查線面平行、面面垂直的判定及二面角的求解，考查學(xué)生的推理論證能力及邏輯思維能力，屬中檔題．