Question

如圖，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求證：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根據(jù)DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，從而可得AC⊥BE；
（II）分別以DADCDE為x軸、y軸、z軸，建立如圖所求空間直角坐標系．設(shè)AD=3，則可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各點的坐標，進而得到向量、的坐標，再利用垂直向量數(shù)量積為零建立方程組，解出平面BEF的一個法向量為=（2，1，3），而=（-3，3，0）是平面BDE的一個法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F-BE-D的余弦值；
（III）設(shè)M（t，t，0）（）．可得關(guān)于t的坐標形式，根據(jù)AM∥平面BEF，得⊥=0，由數(shù)量積為零建立關(guān)于t的方程，解之得t=1，從而得到當BM=BD時，AM∥平面BEF．
解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面BDE，結(jié)合BE?平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）
（II）因為直線BD、BC、BE兩兩垂直，所以分別以DADCDE為x軸、y軸、z軸，建立如圖所求空間直角坐標系
設(shè)AD=3，則可得DE=3，AF=1
因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，0），E（0，0，3），F(xiàn)（3，0，1）
∴=（0，-3，1），=（3，0，-2）…（5分）
設(shè)平面BEF的法向量為=（x，y，z），得，
令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）
∵AC⊥平面BDE，得=（-3，3，0）是平面BDE的一個法向量
∴二面角F-BE-D的大小即為向量、所成角的大小（或其補角）
∵cos===-
∴結(jié)合圖形加以觀察，
可得二面角F-BE-D的余弦值為|cos|=；…（10分）
（Ⅲ）點M是線段BD上一個動點，
根據(jù)（II）的結(jié)論，設(shè)M（t，t，0）（）．
則=（t-3，t，0）．
∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t-3）+t=0，解之得t=2．…（12分）
此時，點M坐標為（2，2，0），
即當BM=BD時，AM∥平面BEF．…（14分）
點評：本題給出四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直且底面是正方形，求證線面垂直并求二面角的余弦值大小，著重考查了線面垂直、平行的判定與性質(zhì)和利用空間向量研究平面與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．