Question

銳角三角形的三內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量

m

=（2c，b-a），

n

=（2a+2b，c-a），若

m

∥

n

．
（1）求角B的大��；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

m

∥

n

列式得到a²+c²-b²=ac，代入余弦定理求得B；
（2）由B結(jié)合三角形內(nèi)角和可得A+C=

2π

3

，得到C=

2π

3

-A，代入sinA+sinC后由兩角和與差的正弦求得取值范圍．

解答： 解：（1）由

m

=（2c，b-a），

n

=（2a+2b，c-a），且

m

∥

n

．
得2c（c-a）-2（b-a）（a+b）=0，即a²+c²-b²=ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，B=

π

3

；
（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

．
∴sinA+sinC=sinA+sin(

2π

3

-A)=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)．
0＜A＜

π

2

，

π

6

＜A+

π

6

＜

2π

3

．
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查了三角函數(shù)的化簡與求值，是基礎(chǔ)題．