Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，使其一個值在（1，+∞），建立不等關(guān)系，解之即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）原題等價于使x∈[-1，1]時，（f（x））_min＞0恒成立，討論a，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，使最小值恒大于0即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x=-

2a+3

3

，
使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點(diǎn)，
則-

2a+3

3

＞1，解得：a＜-3．  （6分）
（2）由題意知，即使x∈[-1，1]時，（f（x））_min＞0．
①當(dāng)-

2a+3

3

≥1，即a≤-3時，f（x）在x∈[-1，1]上單調(diào)遞增，
∴（f（x））_min=f（-1）=a²+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②當(dāng)-1＜-

2a+3

3

＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-

2a+3

3

]為增函數(shù)，在[-

2a+3

3

，1]上為減函數(shù)，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得

f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0

?a＞2或a＜-2
由此得-3＜a＜-2；
③當(dāng)-

2a+3

3

≤-1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上為減函數(shù)，所以（f（x））_min=f（1）=a²-a-2＞0
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得實數(shù)a的取值范圍為a＞2或a＜-2．（15分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題和已知函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)的范圍，求參數(shù)范圍，注意用函數(shù)的思想，以及討論的思想，化難為易，此題綜合性較強(qiáng)．