已知f（x）=ax-x3（x∈R）在區(qū)間(0， 
2
2
]內(nèi)是增函數(shù)．
（Ⅰ） 求a的取值范圍；
（Ⅱ） 若f（x）的極小值為-2，求a的值．
分析：（Ⅰ）依題意，當(dāng)x∈(0， 
2
2
]時，f'（x）≥0，即a-3x2≥0成立，從而可求a的范圍；
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x2=0，得x=±
a
3
．由（Ⅰ）知，a≥
3
2
．再進(jìn)行分類討論，確定當(dāng)x=-
a
3
時，f（x）取極小值．從而得解．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a-3x2，（1分）
依題意，當(dāng)x∈(0， 
2
2
]時，f'（x）≥0，即a-3x2≥0成立，（3分）
∴a≥3×(
2
2
)2=
3
2
，故所求a的范圍是[
3
2
，+∞)．（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，即a-3x2=0，得x=±
a
3
．由（Ⅰ）知，a≥
3
2
．
當(dāng)x＜
a
3
時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞
a
3
時，f'（x）＜0．
所以，當(dāng)x=
a
3
時，f（x）取極大值．
當(dāng)x＜-
a
3
時，f'（x）＜0； 當(dāng)x＞-
a
3
時，f'（x）＞0．
所以，當(dāng)x=-
a
3
時，f（x）取極小值．（10分）
于是，f(-
a
3
)=-2，即a(-
a
3
)-(-
a
3
)3=-2，解得a=3．   （12分）
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，由于含有參數(shù)，故應(yīng)進(jìn)行分類討論．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1），
（1）證明函數(shù)f （ x ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時函數(shù)f （x ）的最大值為
103
，求此時a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax+b（a＞0且a≠1，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（1，1）且0＜f（0）＜1，記m=
1
2
[f-1(x1)+f-1(x2)]，n=f-1(
x1+x2
2
)（x1、x2是兩個不相等的正實數(shù)），試比較m、n的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f（x）=ax+a-x，若f（1）=3，，求f（2）的值．
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=log3(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log312．求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax（a＞1），g（x）=bx（b＞1），當(dāng)f（x1）=g（x2）=2時，有x1＞x2，則a，b的大小關(guān)系是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•新疆模擬）已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=
lnx
x
，其中e是自然對數(shù)的底，a∈R．
（Ⅰ）a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+
1
2
．

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