【題目】已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為:A(1,0),B(1,4),C(3,2),直線l經(jīng)過點(0,4).
(1)求△ABC外接圓⊙M的方程;
(2)若直線l與⊙M相交于P,Q兩點,且|PQ|=2 ,求直線l的方程.

【答案】
(1)解:解法1:設(shè)⊙M的方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

則由題意得 ,解得 ,

∴⊙M的方程為x2+y2﹣2x﹣4y+1=0,或(x﹣1)2+(y﹣2)2=4

解法2:∵A(1,0),B(1,4)的橫坐標(biāo)相同,故可設(shè)M(m,2),

由MA2=MC2得(m﹣1)2+4=(m﹣3)2,解得m=1

∴⊙M的方程為(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,或x2+y2﹣2x﹣4y+1=0

解法3:∵A(1,0),B(1,4),C(3,2),∴ ,

,則△ACB是等腰直角三角形,

因而△ACB圓心為(1,2),半徑為2,

∴⊙M的方程為(x﹣1)2+(y﹣2)2=4


(2)解:當(dāng)直線l與x軸垂直時,l方程為x=0,它截⊙M得弦長恰為2

當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l:y=kx+4

∵圓心到直線y=kx+4的距離d=

由勾股定理得 ,解得

故直線l的方程為x=0或3x+4y﹣16=0


【解析】(1)解法1:設(shè)⊙M的方程為一般式,根據(jù)條件列出方程組,求解后即可求出⊙M的方程;解法2:根據(jù)A(1,0),B(1,4)的橫坐標(biāo)相同設(shè)M(m,2),由半徑相等和兩點之間的距離公式列出方程求出m,可得⊙M的方程;解法3:由向量的坐標(biāo)運算求出 ,由向量的數(shù)量積運算求出 和模,判斷出△ACB是等腰直角三角形,由直角三角形外接圓的性質(zhì)求出⊙M的方程;(2)對直線l的斜率存在問題分類討論,根據(jù)點到直線的距離公式和弦長公式列出方程,求出直線的斜率,即可得到直線方程.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用圓的一般方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握圓的一般方程的特點:(1)①x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.②沒有xy這樣的二次項;(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了;(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.

練習(xí)冊系列答案
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, , 底面, 上一點,且.

(1)證明: ;

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班級

宏志班

珍珠班

英才班

精英班

參賽人數(shù)

20

15

15

10

(Ⅰ)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人,求這2人在同一班級的概率;

(Ⅱ)現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為代表,進(jìn)行大賽前的發(fā)言,設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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A.②③
B.①③
C.①④
D.②④

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(2)當(dāng)x∈(﹣∞,2)時,f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.

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(1)x的值,并判斷哪組學(xué)生成績更穩(wěn)定;

(2)在甲、乙兩組中各抽出一名同學(xué),求這兩名同學(xué)的得分之和低于20分的概率.

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2)每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點;
3)每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點;
4)有三個面是等腰直角三角形,有一個面是等邊三角形的四面體的4個頂點.
其中正確結(jié)論的個數(shù)為

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